Question

设函数f（x）=5

3

sinxcosx+6cos²x+sin²x+

3

2

．
（Ⅰ）当x∈[

π

6

，

π

2

]时，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，sinC=

3

5

，f（A）=

15

2

，AB=2

3

，求AB边上的高．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）运用二倍角公式的变形和两角和的正弦公式化简整理，得到f（x）=5sin（2x+

π

6

）+5，根据x的范围，求出2x+

π

6

的范围，根据正弦函数的图象与性质，即可得f（x）的值域；
（Ⅱ）根据条件先求出角A，注意锐角三角形，运用两角和的正弦求出sinB，运用正弦定理求出AC，由解直角三角形求出AB边上的高．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=5

3

sinxcosx+6cos2x+sin2x+

3

2

=5

3

sinxcosx+5cos2x+

5

2

=

5

2

3

sin2x+5•

1+cos2x

2

+

5

2

=5sin(2x+

π

6

)+5，
由

π

6

≤x≤

π

2

，得

π

2

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1
∴

π

6

≤x≤

π

2

时，函数f（x）的值域为[

5

2

，10]；
（Ⅱ）∵sinC=

3

5

，f（A）=

15

2

，
∴f（A）=5sin（2A+

π

6

）+5=

15

2

，即sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
∵△ABC为锐角△ABC，∴A=

π

3

，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

3

2

×

4

5

+

1

2

×

3

5

=

4 3 +3

10

，
又AB=2

3

∴由正弦定理得，

2 3

3 5

=

AC

4 3 +3 10

，即AC=4+

3

，
设AB边上的高为CD，
∴CD=AC•sin60°=

4 3 +3

2

．

点评：本题主要考查三角恒等变换及正弦定理的运用，考查正弦函数的图象与性质和两角和的正弦公式，熟记这些公式是解题的关键．