Question

6．正三棱锥的底面边长为2，三条侧棱两两互相垂直，则此棱锥的体积为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• B． $\frac{2}{3}\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{4}{3}\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由题意知该正三棱锥是正方体的一个角，且这个正方体的面对角线长为2，棱长为$\sqrt{2}$，由此能求出此棱锥的体积．

解答 解：如图，∵正三棱锥的底面边长为2，三条侧棱两两互相垂直，
∴该正三棱锥是正方体的一个角S-ABC，且AB=AC=BC=2，
∴SA=SB=SC=$\sqrt{2}$，
∴此棱锥的体积：
V_S-ABC=V_B-ACS
=$\frac{1}{3}×{S}_{△ACS}×SB$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×SA×SC×SB$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查正三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．