Question

已知函数y=x+

a

x

有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，

a

]上是减函数，在[

a

，+∞)上是增函数．
（Ⅰ）若函数y=x+

2b

x

（x＞0）的值域为[6，+∞），求实数b的值；
（Ⅱ）已知f(x)=

4x2-12x-3

2x+1

，x∈[0，1]，求函数f（x）的单调区间和值域；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的函数f（x）和函数g（x）=-x-2c，若对任意x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求实数c的值．

Answer 1

考点：函数最值的应用,函数的值域,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由所给函数y=x+

a

x

(x＞0)性质知，即可得出对于函数y=x+

2b

x

，当x=

2b

时取得最小值2

2b

，可得2

2b

=6，解出即可．
（II）设t=2x+1，t∈[1，3]，f(t)=

t2-8t+4

t

=t+

4

t

-8（t∈[1，3]）．由所给函数y=x+

a

x

(x＞0)性质知：f（t）在[1，2]单调递减，[2，3]单调递增．进而取得最值．
（III）g（x）在[0，1]单调递减，可得g（x）∈[-1-2c，-2c]．对任意x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，?[-4，-3]⊆[-1-2c，-2c]，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）由所给函数y=x+

a

x

(x＞0)性质知，当x＞0时，x=

a

时函数取最小值2

a

；
∴对于函数y=x+

2b

x

，当x=

2b

时取得最小值2

2b

，
∴2

2b

=6，
解得b=log₂9=2log₂3．
（Ⅱ）设t=2x+1，t∈[1，3]，f(t)=

t2-8t+4

t

=t+

4

t

-8（t∈[1，3]），
由所给函数y=x+

a

x

(x＞0)性质知：f（t）在[1，2]单调递减，[2，3]单调递增．
∴f（x）在[0，

1

2

]单调递减，在[

1

2

，1]单调递增．
于是f(x)min=f(

1

2

)=-4，f（x）_max=max{f（0），f（1）}=-3，
∴f（x）∈[-4，-3]．
（Ⅲ）∵g（x）在[0，1]单调递减，∴g（x）∈[-1-2c，-2c]，
由题意知：[-4，-3]⊆[-1-2c，-2c]
于是有：

-1-2c≤-4 -2c≥-3

，
解得：c=

3

2

．

点评：本题考查了“双勾函数”函数y=x+

a

x

(x＞0)性质及其应用、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．