Question

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，过焦点F₂与x轴垂直的直线与双曲线交于P，Q两点，若△PF₁Q是等边三角形，则该双曲线的离心率为（　　）

• A、

  3

• B、2

  2

• C、

  6

• D、2

  3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：首先，将点P（c，y₀）代入双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1得到：y0=

b2

a

由△PF₁Q是等边三角形所以：

|F1F2|

|PF2|

=

3

进一步解得：

3

b2=2ac所以

3

(c2-a2)=2ac所以整理得：

3

e2-2e-

3

=0解得离心率．

解答： 解：不妨设P（c，y₀）其中y₀＞0，c为双曲线的半焦距，将点P（c，y₀）代入双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1得到：y0=

b2

a

由△PF₁Q是等边三角形
所以：

|F1F2|

|PF2|

=

3

进一步解得：

3

b2=2ac
所以

3

(c2-a2)=2ac所以整理得：

3

e2-2e-

3

=0
解得：e=

3

或-

3

3

（负值舍去）
故选：A

点评：本题考查的知识要点：等边三角形的边角关系，双曲线的离心率及相关的运算问题．