Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC，AC⊥AB，AB=2AA₁，M是AB的中点，△A₁MC₁是等腰三角形，D为CC₁的中点，E为BC上一点．
（1）若EB=3CE，证明：DE∥平面A₁MC₁；
（2）求直线BC和平面A₁MC₁所成角的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：解法一：
（1）取BC中点N，连结MN，C₁N，由已知得MN∥AC∥A₁C₁，由此能证明DE∥平面A₁MC₁．
（2）连结B₁M，由已知得四边形ABB₁A₁为矩形，从而直线BC和平面A₁MC₁所成的角即B₁C₁与平面A₁MC₁所成的角，由此能求出直线BC和平面A₁MC₁所成角的余弦值．
解法二：
（1）以A为原点，以AB为x轴，以AA₁为y轴，以AC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DE∥平面A₁MC₁．
（2）由（1）知平面A₁MC₁的法向量

n

=（1，1，0），

BC

=（-2，0，

2

），由此利用向量法能求出直线BC和平面A₁MC₁所成角的余弦值．

解答： 解法一：
（1）证明：取BC中点N，连结MN，C₁N，
∵M，N分别是AB，CB的中点，
∴MN∥AC∥A₁C₁，
∴A₁，M，N，C₁四点共面，
且平面BCC₁B₁∩平面A₁MNC₁=C₁N，
又EB=3CE，即E为NC的中点，
∴DE∥C₁N，
又DE不包含于平面A₁MC₁，
∴DE∥平面A₁MC₁．
（2）解：连结B₁M，∵AA₁⊥平面ABC，
∴AA₁⊥AB，即四边形ABB₁A₁为矩形，且AB=2AA₁，
∵M是AB的中点，∴B₁M⊥A₁M，
∵CA⊥AA₁，CA⊥AB，AB∩AA₁=A，∴CA⊥平面ABB₁A₁，
∴A₁C₁⊥平面ABB₁A₁，
∴A₁C₁⊥B₁M，从而B₁M⊥平面A₁MC₁，
∴MC₁是B₁C₁在平面A₁MC₁内的射影，
∴B₁C₁与平面A₁MC₁所成角为∠B₁C₁M，
又B₁C₁∥BC，
∴直线BC和平面A₁MC₁所成的角即B₁C₁与平面A₁MC₁所成的角，
设AB=2AA₁=2，且△A₁MC₁是等腰三角形，
∴A1M=A1C1=

2

，
则MC1=2，B1C1=

6

，
∴cos∠B1C1M=

MC1

B1C1

=

6

3

，
∴直线BC和平面A₁MC₁所成角的余弦值为

6

3

．
解法二：
（1）证明：∵AA₁⊥平面ABC，又AC⊥AB，
∴以A为原点，以AB为x轴，以AA₁为y轴，以AC为z轴，
建立空间直角坐标系，
设AB=2AA₁=2，又△A₁MC₁是等腰三角形，
∴A₁（0，1，0），M（1，0，0），C1(0，1，

2

)，
∴

A1M

=（1，-1，0），

A1C1

=（0，0，

2

），
设平面A₁MC₁的法向量

n

=(x，y，z)，
则

A1M • n =x-y=0 A1C1 • n = 2 z=0

，取x=1，得

n

=（1，1，0）．
又

CE

EB

=

1

3

，E（

1

2

，0，

3 2

4

），D（0，

1

2

，

2

），
∴

DE

=（

1

2

，-

1

2

，-

2

4

），
∵

n

•

DE

=0，∴

n

⊥

DE

，
又DE不包含于平面A₁MC₁，
∴DE∥平面A₁MC₁．
（2）解：由（1）知平面A₁MC₁的法向量

n

=（1，1，0），
B（2，0，0），C（0，0，

2

），

BC

=（-2，0，

2

），
设直线BC和平面A₁MC₁所成角为θ，
则sinθ=cos＜

n

，

BC

＞=

2

2 × 6

=

3

3

，
∴cosθ=

1-( 3 3 )2

=

6

3

，
∴直线BC和平面A₁MC₁所成角的余弦值为

6

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．