Question

已知椭圆C的焦点在x轴上，短轴长和焦距均为2．
（1）求椭圆C的标准方程及离心率；
（2）设O为原点．若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设椭圆方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1，由题意可求2c，2b，然后由a²=b²+c²可求a，进而可求椭圆C方程；
（2）由题意设点A，B的坐标分别为（t，2），（x₀，y₀），可得|AB|²=（x₀-t）²+（y₀-2）²=（x₀+

2y0

x0

）²+（y₀-2）²=

x 2 0

2

+

4

x 2 0

+3，利用基本不等式求最值即可．

解答： 解析　（1）由题意知，2c=2，2b=2，∴c=1，b=1，
∴c²=1，b²=1，从而a²=c²+b²=2．∴a=

2

，
∴椭圆C的标准方程为

x2

2

+y²=1，椭圆C的离心率e=

2

2

．
（2）设点A，B的坐标分别为（t，2），（x₀，y₀），其中x₀≠0．
因为OA⊥OB，所以

OA

•

OB

=0，即tx₀+2y₀=0，解得t=-

2y0

x0

．
又

x

2 0

+2

y

2 0

=2，
所以|AB|²=（x₀-t）²+（y₀-2）²
=（x₀+

2y0

x0

）²+（y₀-2）²
=

x 2 0

2

+

4

x 2 0

+3，
≥2

2

+3．
当且仅当x₀=2时，等号成立，
所以|AB|≥

2

+1．
故线段AB长度的最小值为

2

+1．

点评：本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆方程，直线与椭圆的相交关系的应用，属于中档试题