Question

设函数y=x²+（a+1）²+|x+a-1|（a∈R）．
（1）若a为大于2的常数，求函数y的最小值；
（2）若函数y的最小值大于3，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先去掉绝对值，分别求函数的最小值，然后比较大小即可得函数的最小值；
（2）像（1）一样分别让最小值大于3，求实数a的取值范围即可．

解答： 解：（1）设f（x）=y=x²+（a+1）²+|x+a-1|=

(x+ 1 2 )2+(a+1)2+a- 5 4 ，(x＞1-a) (x- 1 2 )2+(a+1)2-a+ 3 4 ，(x≤1-a

，
因为a＞2，所以1-a＜-1，
当x＞1-a时，y_min=f（-

1

2

）=（a+1）²+a-

5

4

，
当x≤1-a时，y_min=f（1-a）=2+2a²，
又2+2a²-[（a+1）²+a-

5

4

]=（a-

3

2

）²≥0，
∴2+2a²≥（a+1）²+a-

5

4

，
∴a为大于2的常数，函数y的最小值为（a+1）²+a-

5

4

，
（2）设f（x）=y=x²+（a+1）²+|x+a-1|=

(x+ 1 2 )2+(a+1)2+a- 5 4 ，(x＞1-a) (x- 1 2 )2+(a+1)2-a+ 3 4 ，(x≤1-a

，
∴当x≥1-a时，即x=-

1

2

，此时a≥

3

2

，y_min=f（-

1

2

）=（a+1）²+a-

5

4

＞3，解得：a＜-

3+ 22

2

或a＞

-3+ 22

2

；
∴a≥

3

2

，

当x＜1-a时，即x＜1-a，此时a＜

1

2

，y_min=f（

1

2

）=（a+1）²-a+

3

4

＞3，解得：a＜-

1+ 6

2

或a＞

-1+ 6

2

，
∴a＜-

1+ 6

2

综上：a＜-

1+ 6

2

或a≥

3

2

．

点评：本题主要考查二次函数的最值问题，借助二次函数的对称性和单调性求解．