Question

已知f（x）是定义在R上且以4为周期的奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）=ln（x²-x+b），若函数f（x）在区间[-2，2]上的零点个数为5，则实数b的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的周期性

专题：函数的性质及应用

分析：根据已知中f（x）是定义在R上且以4为周期的奇函数，可得0，±2是函数f（x）的零点，故若函数f（x）在区间[-2，2]上的零点个数为5，则当x∈（0，2）时，x²-x+b＞0恒成立，且x²-x+b=1在（0，2）有一解，由此构造关于b的不等式组，解不等式组，可得实数b的取值范围．

解答： 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
故f（0）=0，即0是函数f（x）的零点，
又由f（x）是定义在R上且以4为周期的周期函数，
故f（-2）=f（2），且f（-2）=-f（2），
故f（-2）=f（2）=0，
即±2也是函数f（x）的零点，
若函数f（x）在区间[-2，2]上的零点个数为5，
则当x∈（0，2）时，f（x）=ln（x²-x+b），
故当x∈（0，2）时，x²-x+b＞0恒成立，
且x²-x+b=1在（0，2）有一解，
即

1-4b＜0 ( 1 2 )2- 1 2 +b=1

或

1-4b＜0 0-0+b≤1 4-2+b≥1

解得：

1

4

＜b≤1或b=

5

4

，
故答案为：

1

4

＜b≤1或b=

5

4

点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性，与函数的周期性，对数函数的图象和性质，函数的零点，是函数图象与性质的综合应用，难度比较大．