题目内容
已知等比数列{an}的首项为
，公比为-
，其前n项和记为S，又设Bn={
，
，
，…，
}（n∈N*，n≥2），Bn的所有非空子集中的最小元素的和为T，则S+2T≥2014的最小正整数为 ．
| 4 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 8 |
| 2n-1 |
| 2n |
考点：等比数列的性质
专题：综合题,等差数列与等比数列
分析：求出等比数列{an}的前n项和S，Bn的所有非空子集中的最小元素的和为T，利用S+2T≥2014，即可求出最小正整数．
解答：
解：∵等比数列{an}的首项为
，公比为-
，其前n项和记为S，
∴S=1-(-
)n，
当n=2时，Bn的所有非空子集为：{
，
}，{
}，{
}，∴S=
×2+
=
；
当n=3时，∴S=
×4+
×1+
×2=4；
当n≥4时，当最小值为
时，每个元素都有或无两种情况，共有n-1个元素，共有2n-1-1个非空子集，
S1=
；当最小值为
，不含
，含
，共n-2个元素，有2n-2-1个非空子集，S2=
，…
∴T=S1+S2+S3+…+Sn=
+
+…+
+2+
+
=
∵S+2T≥2014，
∴1-(-
)n+n2-1≥2014
∴n≥45．
故答案为：45．
| 4 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴S=1-(-
| 1 |
| 3 |
当n=2时，Bn的所有非空子集为：{
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 7 |
| 4 |
当n=3时，∴S=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 5 |
| 8 |
当n≥4时，当最小值为
| 2n-1 |
| 2n |
S1=
| 2n-1 |
| 2 |
| 2n-3 |
| 2n-1 |
| 2n-1 |
| 2n |
| 2n-3 |
| 2n-1 |
| 2n-3 |
| 2 |
∴T=S1+S2+S3+…+Sn=
| 2n-1 |
| 2 |
| 2n-3 |
| 2 |
| 7 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| n2-1 |
| 2 |
∵S+2T≥2014，
∴1-(-
| 1 |
| 3 |
∴n≥45．
故答案为：45．
点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要熟练掌握集合的子集的概念，注意分类讨论思想的灵活运用．
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