Question

已知函数f（x）=e^x-kx，（k∈R，x∈R）
（1）当k=e时．求函数f（x）的极小值；
（2）若k＞0，且对于任意x≥0总有f（x）＞0恒成立．求实数k的取值范围；
（3）令g（x）=e^x-3lnx，若至少存在一个实数x₀∈[1，e]，使f（x₀）＜g（x₀）成立．求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）将k=e代入函数的表达式，通过求导得到函数的单调区间，进而求出函数的极小值；
（2）先求出函数的导数，将问题转化为求f（x）的最小值大于0，解不等式，求出即可；
（3）将问题转化为求两个函数的最值问题，画出函数的图象，结合函数的单调性，容易得到答案．

解答： 解：（1）k=e时，f（x）=e^x-ex，f′（x）=e^x-e，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，
∴f（x）在（-∞，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴f（x）_min=f（1）=0；
（2）∵f′（x）=e^x-k，k＞0
令f′（x）＞0，解得：x＞lnk，令f′（x）＜0，解得：x＜lnk，
∴f（x）在[0，lnk）递减，在（lnk，+∞）递增，
∴f（x）_min=f（lnk）=k-klnk＞0，解得：0＜k＜e，
（3）若f（x）＜g（x），则e^x-kx＜e^x-3lnx，
∴lnx＜

k

3

x，
令m（x）=lnx，n（x）=

k

3

x，
画出函数m（x），n（x）的图象，如图示：
，
由题意得：只需m（x）的最小值小于g（x）的最大值即可，
∴0＜

ke

3

，解得：k＞0，

点评：本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查了导数的应用，考查转化思想，是一道中档题．