Question

6．已知△ABC的三边分别为a，b，c，且2bcosA=acosC+ccosA．
（ I）求角A的大小；
（ II）若△ABC的面积S_△ABC=$\frac{{25\sqrt{3}}}{4}$，且a=5，求sinB+sinC．

Answer 1

分析 （I）利用正弦定理、和差公式、三角函数的单调性即可得出．
（ II）${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc=\frac{{25\sqrt{3}}}{4}$，可得bc=25，利用余弦定理可得：b²+c²=50，可得b+c=10．
（法一）由①②可知b，c可看成方程x²-10x+25=0的两根，解得b=c=5，即可得出．
（法二）利用正弦定理即可得出．

解答 解：（ I）由2bcosA=acosC+ccosA及正弦定理可得2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，
即2sinBcosA=sin（A+C），
∵sin（A+C）=sin（π-B）=sinB，∴2sinBcosA=sinB，即sinB（2cosA-1）=0，
∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴$cosA=\frac{1}{2}$，∵0＜A＜π，$A=\frac{π}{3}$．
（ II）∵${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc=\frac{{25\sqrt{3}}}{4}$，∴bc=25①
∵$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{{{b^2}+{c^2}-25}}{2•25}=\frac{1}{2}$，b²+c²=50，
∴（b+c）²=50+2•25=100，即b+c=10②
（法一）由①②可知b，c可看成方程x²-10x+25=0的两根，解得b=c=5，
∴△ABC为等边三角形，故$sinB+sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\sqrt{3}$．
（法二）利用正弦定理可得：$sinB+sinC=b•\frac{sinA}{a}+c\frac{sinA}{a}=（{b+c}）\frac{sinA}{a}=10•\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{5}=\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、和差公式、三角函数的单调性、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．