Question

18．设{a_n}是递增等比数列，已知a₁+a₃=5，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）令b_n=lna_3n+1，n=1，2，…，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由等差数列等差中项可知：a₁+3+a₃+4=6a₂，即6a₂=12，求得a₂=2，由a₁+a₃=5，$\frac{{a}_{2}}{q}$+2q=5，即可求得q的值，根据等数列通项公式即可求得数列{a_n}的通项；
（2）由（1）可知：a_3n+1=2³ⁿ，则b_n=3nln2，由b_n-b_n-1=3ln2，利用等差数列前n项和公式，即可求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：由已知可知：a₁+a₃=5，①
a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列，
∴a₁+3+a₃+4=6a₂，即6a₂=12，
∴a₂=2，
{a_n}是等比数列，公比q，
∴$\frac{{a}_{2}}{q}$+2q=5，整理得：2q²-5q+2=0，
解得：q=2，q=$\frac{1}{2}$，
{a_n}是递增等比数列，
∴q=2，a₁=1，
∴{a_n}的通项公式a_n=2^n-1；
∴b_n=lna_3n+1，n=1，2，…，
由（1）可知：a_3n+1=2³ⁿ，
b_n=3nln2，
b_n-b_n-1=3ln2，
∴数列{b_n}是以3ln2为首项，以3ln2为公差的等差数列，
∴T_n=$\frac{n（{b}_{1}+{b}_{n}）}{2}$=$\frac{n（3ln2+3nln2）}{2}$=$\frac{3n（n+1）}{2}ln2$．
数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{3n（n+1）}{2}ln2$．

点评 本题考查等比数列通项公式的求法，考查等差数列的证明，等差数列前n项和公式的应用，考查计算能力，属于中档题．