Question

已知数列{a_n}满足a₁=4，a_n=4-

4

an-1

（n＞1），其中n∈N^*
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足c_n=

4

anan+1

，数列{c_n}的前n项的乘积为T_n，试证明：2012T₂₀₁₁＞

1

2013

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出

1

an-2

=

1

2

+

1

an-1-2

，由此能求出an=

2

n

+2．
（2）由c_n=

4

anan+1

=

4

( 2 n +2)( 2 n+1 +2)

=

n

n+2

，得到T_n=

1

3

×

2

4

×

3

5

×

4

6

×…×

n

n+2

=

2

(n+1)(n+2)

，由此能证明2012T₂₀₁₁＞

1

2013

．

解答： 解：（1）∵a₁=4，a_n=4-

4

an-1

（n＞1），

a_n-2=2-

4

an-1

=2•

an-1-2

an-1

，
∴

1

an-2

=

1

2

+

1

an-1-2

，
又

1

a1-2

=

1

2

，
∴{

1

an-2

}是首项为

1

2

，公差为

1

2

的等差数列，
∴

1

an-2

=

n

2

，∴an=

2

n

+2．
（2）∵c_n=

4

anan+1

=

4

( 2 n +2)( 2 n+1 +2)

=

n

n+2

，
∴T_n=

1

3

×

2

4

×

3

5

×

4

6

×…×

n

n+2

=

2

(n+1)(n+2)

，
∴2012T₂₀₁₁=2012×

2

2012×2013

=

2

2013

＞

1

2013

．
∴2012T₂₀₁₁＞

1

2013

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，是中档题．