Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PDC⊥底面ABCD，PD=DC，∠PDC=90°，E是PC的中点．
（Ⅰ）求证：PA∥平面EDB；
（Ⅱ）若EF⊥PB于F，求证：PB⊥平面EFD；
（Ⅲ）若DC=2，求三棱锥E-BCD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由线面平行的判定定理，须先作辅助线证线线平行，从而可证线面平行；
（Ⅱ）由线面垂直的判定定理，须先证PB垂直于平面内的两条相交直线，从而可证线面垂直；
（Ⅲ）取DC中点G，连接EG，证明EG⊥平面ABCD，利用V_E-BCD=

1

3

S_△BCD•EG，即可求出三棱锥E-BCD的体积．

解答： （I）证明：在正方形ABCD中，连接AC，交BD于O点，连接EO，
∵四边形ABCD为正方形，∴O为AC中点，
∵E为PC中点，∴EO∥PA，
∵PA?面EDB，EO?面EDB，
∴：PA∥平面EDB；
（II）证明：∵侧面PDC⊥底面ABCD，且侧面PDC∩底面ABCD=CD，
在面ABCD中，BC⊥CD，
∴BC⊥面PCD
∴BC⊥DE
又∵PD=DC，E是PC的中点
∴PC⊥DE
又∵PC∩BC=C
∴DE⊥面PBC
∴DE⊥PB
又∵EF⊥PB，DE∩EF=E
∴PB⊥平面EFD．
（III）解：取DC中点G，连接EG．∴EG∥PD，EG=1，
∵PD⊥DC，侧面PDC⊥底面ABCD，且侧面PDC∩底面ABCD=CD，
∴PD⊥平面ABCD，∴EG⊥平面ABCD，
∴V_E-BCD=

1

3

S_△BCD•EG=

1

3

（

1

2

BC•DC）•EG=

2

3

．

点评：本题考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理和性质定理，考查三棱锥体积的计算，须能灵活应用这些定理，并有较强的空间立体感．属中等题．