题目内容
已知数列{an}的首项a1=
，an+1=
，n=1，2…
（1）求证{
-1}是等比数列
（2）求出{an}的通项公式．
| 3 |
| 5 |
| 3an |
| 2an+1 |
（1）求证{
| 1 |
| an |
（2）求出{an}的通项公式．
考点：数列递推式,等比关系的确定,等比数列的性质
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）由已知条件推导出
-1=
（
-1），由此能证明{
-1}是首项为
，公比为
的等比数列．
（2）由已知条件得
-1=
•(
)n-1=2•(
)n，由此能求出{an}的通项公式．
| 1 |
| an+1 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| an |
| 1 |
| an |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
（2）由已知条件得
| 1 |
| an |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
解答：
（1）证明：∵数列{an}的首项a1=
，an+1=
，
∴
=
=
+
，
∴
-1=
（
-1），
∴
=
，
∵
-1=
-1=
，
∴{
-1}是首项为
，公比为
的等比数列．
（2）解：∵{
-1}是首项为
，公比为
的等比数列．
∴
-1=
•(
)n-1=2•(
)n，
∴
=2•(
)n+1，
∴an=
=
．
| 3 |
| 5 |
| 3an |
| 2an+1 |
∴
| 1 |
| an+1 |
| 2an+1 |
| 3an |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3an |
∴
| 1 |
| an+1 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| an |
∴
| ||
|
| 1 |
| 3 |
∵
| 1 |
| a1 |
| 5 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
∴{
| 1 |
| an |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
（2）解：∵{
| 1 |
| an |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴
| 1 |
| an |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴
| 1 |
| an |
| 1 |
| 3 |
∴an=
| 1 | ||
2•(
|
| 3n |
| 3n+2 |
点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．
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