Question

如图：在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E为PA中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；
（Ⅱ）已知PA=2AB=2，求二面角D-BE-A的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）AC交BD于O，连结OE，由已知得EO∥PC，由此能证明PC∥平面BDE．
（Ⅱ）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-BE-A的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：AC交BD于O，连结OE，
∵底面ABCD是正方形，∴O是AC中点，
又E为PA中点，∴EO∥PC，
而PC?面BDE，ED?平面BDE，
∴PC∥平面BDE．
（Ⅱ）解：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵PA=2，AB=1，
∴A（0，0，0），D（1，0，0），
E（0，0，1），B（0，1，0），
∴

DE

=(-1，0，1)，

BE

=（0，-1，1），
设面BDE的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • DE =-x+z=0 n • BE =-y+z=0

，取x=1，得

n

=（1，1，1），
由题意，得平面ABE的法向量

m

=（1，0，0），
设二面角D-BE-A的平面角为α，
cosα=|cos＜

m

，

n

＞|=|

1

3

|=

3

3

，
∴二面角D-BE-A的余弦值为

3

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．