Question

已知函数f（x）=2lnx-

1

2

ax²-3x，其中a为常数．若当x=1时，f（x）取得极值，求a的值，并求出f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：先求出函数的定义域，函数有极值，则其导数等于0，先求导，代入求出a的值，再根据导数和函数的单调性的关系，求出单调区间．

解答： 解：f（x）=2lnx-

1

2

ax²-3x的定义域为（0，+∞）
∵f′（x）=

2

x

-ax-3，
∵当x=1时，f（x）取得极值，
∴f′（1）=0，
即2-a-3=0，
解得a=-1，
∴f′（x）=

2

x

+x-3=

x2-3x+2

x

=

(x-1)(x-2)

x

，
令f′（x）=0，解得x=1，或x=2，
当f′（x）＞0时，解得0＜x＜1，或x＞2，
当f′（x）＜0时，解得1＜x＜2，
故函数f（x）在（0，1）和（2，+∞）上为增函数，在（1，2）上为减函数

点评：本题考查了导数和函数的单调性极值的关系，需要注意不要忘了对数函数的定义域，属于中档题