Question

如图所示，以原点O为圆心的两个同心圆的半径分别为3和1，过原点O的射线交大圆于点p，交小圆于点q，p在y轴上的射影为M，动点N满足

PM

=λ

PN

且

PM

•

QN

=0．
（1）求点N的轨迹方程；
（2）过点A（1，0）作斜率分别为k₁，k₂的直线l₁，l₂与点N的轨迹分别交于E，F两点，k₁•k₂=-9，求证：直线EF过定点．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：计算题,证明题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设N（x，y），P（3cosθ，3sinθ），Q（cosθ，sinθ），则M（0，3sinθ），求得向量PM，PN，QN的坐标，再由数量积的坐标公式和向量垂直的条件，化简运用平方关系，即可得到N的轨迹方程；
（2）设过点A（1，0）的直线l₁的方程为y=k₁（x-1），代入椭圆方程，消去y，再由韦达定理，即可求得E的坐标，再由k₁•k₂=-9，设出l₂的方程为y=k₂（x-1），k₁换成-

9

k1

，即可得到N的坐标，进而判断直线EF恒过定点（0，0）．

解答： （1）解：设N（x，y），P（3cosθ，3sinθ），Q（cosθ，sinθ），
则M（0，3sinθ），

PM

=（-3cosθ，0），

PN

=（x-3cosθ，y-3sinθ），

QN

=（x-cosθ，y-sinθ），
由于

PM

=λ

PN

，则-3cosθ（y-3sinθ）=0，即有y=3sinθ ①

PM

•

QN

=0，则-3cosθ（x-cosθ）=0，即有x=cosθ  ②
由①②，消去θ，得

y2

9

+x²=1，
则有点N的轨迹方程为

y2

9

+x²=1；
（2）证明：设过点A（1，0）的直线l₁的方程为y=k₁（x-1），
代入椭圆方程，消去y，得（9+k₁²）x²-2k₁²x+k₁²-9=0，
由于A在椭圆上，则x_E=

k12-9

9+k12

，y_E=k₁（x_E-1）=

-18k1

9+k12

，
则E（

k12-9

9+k12

，

-18k1

9+k12

）
由于l₂的方程为y=k₂（x-1），且k₁•k₂=-9，
代入椭圆方程，则将上面的k₁换成-

9

k1

，有F（-

k12-9

9+k12

，-

-18k1

9+k12

）．
则有E，F两点关于原点对称，
连接EF，必过原点（0，0）．
故直线EF恒过定点（0，0）．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示和向量垂直的条件，考查轨迹方程的求法，考查直线方程和椭圆方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查直线恒过定点的求法，属于中档题．