Question

给出下列四个命题：
①“x＜1”是“x²＜1”的充分不必要条件
②若f（x）是定义在[-1，1]的偶函数且在[-1，0]上是减函数，θ∈（

π

4

，

π

2

），则f（sinθ）＜f（cosθ）
③若f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线方程是y=

1

2

x+2，则f（1）+f′（1）=3
④若f（x）=lg（

x2+1

-x），则f（lg2）+f（lg

1

2

）=0
⑤函数f（x）=e^x+x-2在区间（0，1）上有零点．
其中所有正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①由于“-1＜x＜1”?“x²＜1”，可得“x＜1”与“x²＜1”关系；
②由于f（x）是定义在[-1，1]的偶函数且在[-1，0]上是减函数，可得f（x）在[0，1]上是增函数．
由于θ∈（

π

4

，

π

2

），可得cosθ＜sinθ，即可判断出；
③由f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线方程是y=

1

2

x+2，可得f′(1)=

1

2

，f（1）=

1

2

×1+2，即可判断出．
④函数f（x）的定义域为R，利用f（x）+f（-x）=0，f（lg

1

2

）=f（-lg2），即可判断出；
⑤利用已知可得f（0）f（1）＜0．和函数零点判定定理即可判断出．

解答： 解：①∵“-1＜x＜1”?“x²＜1”，∴“x＜1”是“x²＜1”的必要不充分条件，因此不正确；
②若f（x）是定义在[-1，1]的偶函数且在[-1，0]上是减函数，则f（x）在[0，1]上是增函数．
∵θ∈（

π

4

，

π

2

），∴0＜cosθ＜sinθ＜1，f（sinθ）＞f（cosθ），因此不正确；
③若f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线方程是y=

1

2

x+2，
∴f′(1)=

1

2

，f（1）=

1

2

×1+2=

5

2

．
∴f（1）+f′（1）=

1

2

+

5

2

=3，正确．
④函数f（x）的定义域为R，∵f（x）+f（-x）=lg（

x2+1

-x）+lg(

x2+1

+x)=lg1=0，
∴f（lg2）+f（lg

1

2

）=f（lg2）+f（-lg2）=0，正确；
⑤∵f（0）=1-2=-1，f（1）=e+1-2=e-1＞0，∴f（0）f（1）＜0．
∴函数f（x）=e^x+x-2在区间（0，1）上有零点，正确．
综上可知：只有③④⑤正确．
故答案为：③④⑤．

点评：本题综合考查了函数的单调性、奇偶性、函数零点判定定理、充分必要条件等基础知识与基本技能方法，属于中档题．