Question

有下列命题：
①在函数y=cos(x-

π

4

)cos(x+

π

4

)的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；
②函数y=

x+3

x-1

的图象关于点（-1，1）对称；
③关于x的方程ax²-2ax-1=0有且仅有一个实数根，则实数a=-1；
④在△ABC中，若3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则角C等于30°或150°．
其中所有真命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①利用诱导公式和倍角公式、周期公式即可得出；
②函数变形为y=

x+3

x-1

=1+

4

x-1

，即可得出图象关于点（1，1）对称；
③对a分类讨论：当a≠0时，由△=0，解得a，当a=0时，直接验证即可；
④利用平方关系和两角和的正弦公式、诱导公式、三角形的内角和定理即可得出．

解答： 解：①y=cos(x-

π

4

)cos(x+

π

4

)=sin(x+

π

4

)cos(x+

π

4

)=

1

2

sin(2x+

π

2

)=

1

2

cos2x，
∴T=

2π

2

=π，∴图象相邻两个对称中心的距离为

π

2

，因此不正确；
②函数y=

x+3

x-1

=1+

4

x-1

的图象关于点（1，1）对称，因此②不正确；
③关于x的方程ax²-2ax-1=0有且仅有一个实数根，
当a=0时，不适合；
当a≠0时，由△=4a²+4a=0，解得a=-1．
综上可知：实数a=-1，因此正确；
④在△ABC中，由3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，
分别平方相加可得9+16+24sin（A+B）=37，
化为sinC=

1

2

，则角C等于30°或150°．因此正确．
综上可知：只有③④正确．
故答案为：③④．

点评：本题综合考查了三角函数的平方关系、两角和的正弦公式、诱导公式、三角形的内角和定理、函数的对称性、一元二次方程的实数根与判别式的关系等基础知识与基本技能方法，属于中档题．