Question

已知某三棱锥的三视图如表示，
（1）求此三棱锥的表面积和体积；
（2）求它的外接球的表面积．

Answer 1

考点：由三视图求面积、体积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（1）由三视图知几何体为三棱锥，且顶点在底面上的射影是底面直角三角形斜边的中点，侧面ABC与ABD的斜高为5，底面直角边长为6，求出AM，CD，代入面积公式计算；
（2）利用其直观图，设外接球的球心为O，OM=x，列方程4+x=

(3 2 )2+x2

求出x，从而求出外接球的半径R，代入球的表面积函数计算．

解答： 解：（1）由三视图知几何体为三棱锥，且顶点在底面上的射影是底面直角三角形斜边的中点，
侧面ABC与ABD的斜高为5，底面直角边长为6，其直观图如图：

∴MN=3，AM=4，CD=6

2

，
∴三棱锥的表面积S=

1

2

×6×6+2×

1

2

×6×5+

1

2

×6

2

×4=48+12

2

；
三棱锥的体积V=

1

3

×

1

2

×6×6×4=24；
（2）∵BM=MC=MD=3

2

，且AM⊥平面BCD，设外接球的球心为O，OM=x，
则4+x=

(3 2 )2+x2

⇒x=

1

4

，
∴球的半径R=4+

1

4

=

17

4

，
∴外接球的表面积为4π×(

17

4

)2=

289

4

π．

点评：本题考查了由三视图求几何体的表面积、体积，考查了接体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．