Question

请用数学归纳法证明：1+3+6+…+

n(n+1)

2

=

n(n+1)(n+2)

6

（n∈N^*）

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据数学归纳法的证题步骤，先证n=1时，等式成立；再假设n=k时，等式成立，再证n=k+1时等式成立．

解答： 证明：①n=1时，左边=1，右边=

1×2×3

6

=1，等式成立；
②假设n=k时，结论成立，即：1+3+6+…+

k(k+1)

2

=

k(k+1)(k+2)

6

，
则n=k+1时，等式左边=1+3+6+…+

k(k+1)

2

+

(k+1)(k+2)

2

=

k(k+1)(k+2)

6

+

(k+1)(k+2)

2

=

(k+1)(k+2)(k+3)

6

，
故n=k+1时，等式成立
由①②可知：1+3+6+…+

n(n+1)

2

=

n(n+1)(n+2)

6

（n∈N^*）．

点评：本题的考点是数学归纳法，主要考查数学归纳法的第二步，在假设的基础上，n=k+1时等式左边增加的项，关键是搞清n=k时，等式左边的规律，从而使问题得解．