Question

已知各项均为正数的数列{a_n}中，a₁=1，S_n是{a_n}的前n项和，对任意的正整数n，都有2S_n=2P

a

2 n

+Pa_n-P（P∈R）都成立，
（1）求常数P的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a₁=1及把n=1代入到递推公式中2S_n=2pa_n²+pa_n-p可求p
（2）由2S_n=2a_n²+a_n-1，可得2S_n-1=2a_n-1²+a_n-1-1（n≥2），两式相减整理可得 （a_n+a_n-1）（2a_n-2a_n-1-1）=0，结合已知数列{a_n}各项均为正数可得，an-an-1=

1

2

，由等差数列的通项公式可求

解答： 解：：（1）由a₁=1及2S_n=2pa_n²+pa_n-p（n∈N^*），
得：2=2p+p-p
∴p=1
（2）由2S_n=2a_n²+a_n-1①
得2S_n-1=2a_n-1²+a_n-1-1（n≥2，n∈N^*） ②
由①-②得   2a_n=2（a_n²-a_n-1²）+（a_n-a_n-1）
即：2（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）-（a_n+a_n-1）=0∴（a_n+a_n-1）（2a_n-2a_n-1-1）=0
由于数列{a_n}各项均为正数
∴2a_n-2a_n-1=1即
a_n-a_n-1=

1

2

，
∴数列{a_n}是首项为1，公差为

1

2

的等差数列，
∴数列{a_n}的通项公式是an=

1

2

(n-1)．

点评：本题主要考查了利用数列的递推公求解数列的通项公式，要注意对n=1的检验，及利用递推公式构造特殊（等差）数列求通项公式．