Question

平面四边形ABCD中，AD=AB=

2

，CD=CB=

5

，且AD⊥AB，现将△ABD沿着对角线BD翻折成△A′BD，则在△A′BD折起至转到平面BCD内的过程中，直线A′C与平面BCD所成的最大角的正切值为（　　）

• A、1
• B、

  1

  2

• C、

  3

  3

• D、

  3

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：连结AC，BD，交于点O，由题设条件推导出OA=1，OC=2．将△ABD沿着对角线BD翻折成△A′BD，当A′C与以O为圆心，OA′为半径的圆相切时，直线A′C与平面BCD所成角最大，由此能求出结果．

解答： 解：如图，平面四边形ABCD中，
连结AC，BD，交于点O，
∵AD=AB=

2

，CD=CB=

5

，且AD⊥AB，
∴BD=

2+2

=2，AC⊥BD，
∴BO=OD=1，
∴OA=

( 2 )2-1

1，OC=

( 5 )2-1

=2．
将△ABD沿着对角线BD翻折成△A′BD，
当A′C与以O为圆心，OA′为半径的圆相切时，
直线A′C与平面BCD所成角最大，
此时，Rt△OA′C中，OA′=OA=1，OC=2，
∴∠OCA′=30°，
∴直线A′C与平面BCD所成的最大角为30°，其正切值为tan30°=

3

3

．
故选C．

点评：本题考查直线与平面所成角的正弦值的最大值的求法，解题要注意等价转化思想和数形结合思想的合理运用．