Question

在直角坐标系xOy中，设点A（-1，0），B（1，0），Q为△ABC的外心．已知

CG

+2

OG

=0，OG∥AB．
（1）求点C的轨迹Γ的方程
（2）设经过f（0，

2

）的直线交轨迹Γ与E，H，直线EH与直线l：y=

3

2

2

交于点M，点P是直线y=

2

上异于点F的任意一点．若直线PE，PH，PM的斜率分别为k₁，k₂，k₃，问是否存在实数t，使得

1

k1

+

1

k2

=

t

k3

，若存在，求t的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设C（x，y），

CG

+2

OG

=

0

，可得G(

x

3

，

y

3

)，Q(0，

y

3

)，根据|QA|=|QC|，即可得出．
（2）当直线EF的斜率不存在时，t=2．当直线EF的斜率存在时，设斜率为k．则直线EH的方程为y=kx+

2

，点M的坐标为(

2

2k

，

3 2

2

)．把直线方程代入椭圆方程可得(k2+3)x2+2

2

kx-1=0，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），P（a，

2

）（a≠0）．利用根与系数的关系可得

1

k1

=

x1-a

y1- 2

=

x1-a

kx1

，

1

k2

=

x2-a

kx2

，

1

k3

=

1

k

-

2

a．又

1

k1

+

1

k2

=

t

k3

，即可得出．

解答： 解：（1）设C（x，y），

CG

+2

OG

=

0

，则G(

x

3

，

y

3

)，Q(0，

y

3

)，
根据|QA|=|QC|，
可得x2+

y2

3

=1(y≠0)．
（2）当直线EF的斜率不存在时，t=2．
当直线EF的斜率存在时，设斜率为k．则直线EH的方程为y=kx+

2

，点M的坐标为(

2

2k

，

3 2

2

)．
把直线方程代入椭圆方程可得(k2+3)x2+2

2

kx-1=0，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），P（a，

2

）（a≠0）．
则x1+x2=

-2 2 k

k2+3

，x₁x₂=

-1

k2+3

，
∴

1

k1

=

x1-a

y1- 2

=

x1-a

kx1

，

1

k2

=

x2-a

kx2

，

1

k3

=

1

k

-

2

a．
又∵

1

k1

+

1

k2

=

t

k3

，
∴

x1-a

kx1

+

x2-a

kx2

=

2

k

-2

2

a．
故存在常数t=2满足条件．

点评：本题综合考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．题目应该为CG+2QG=0 QG平行于AB