Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的一部分图象如图所示，（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式并求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若f（A）=1，sinB=4sin（π-C），△ABC的面积为

3

，求边长a的值．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）由图象可知A=2，周期T=π从而可求ω的值，又f（

π

6

）=2sin（2×

π

6

+φ）=2，|φ|＜

π

2

 可求φ，从而可得函数解析式，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），解得函数f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）由 f（A）=1 可求A的值，由sinB=4sin（π-C）及正弦定理可求得b=4c，由三角形面积公式可求b，c的值，从而由余弦定理即可得解．

解答： 解：（Ⅰ）由图象可知，A=2，
函数f（x）的周期T=π，∵T=

2π

|ω|

 且ω＞0，∴ω=2
又f（

π

6

）=2sin（2×

π

6

+φ）=2，|φ|＜

π

2

 解得φ=

π

6

∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）                                  …（4分）
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z），
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）  …..（6分）
（Ⅱ）由 f（A）=1 即2sin（2A+

π

6

）=1，所以A=

π

3

        …．（7分）
∵sinB=4sin（π-C），所以sinB=4sinC，则b=4c，…．（8分）
又△ABC的面积为

3

，所以S=

1

2

bcsin

π

3

=

3

，即bc=4
所以b=4，c=1                                       …．（10分）
则a²=4²+1²-2×4×1×cos

π

3

=13，所以a=

13

        …．（12分）

点评：本题考查了三角函数解析式的求法，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题．