Question

某班级2014年元旦迎新有奖活动中有一节目，投掷一个各面分别有数字1，2，3，4，且质地均匀的小正四面体，记其底面的数字为投掷的点数，规定：参与者连续投掷三次，投出的点数全部一样，或只含有1、3，或只含有2、4，则获奖，如“4，4，4”，“1，1，3”，“2，2，4”等情形获奖，每人仅限参与节目一次．
（1）求参与者甲获奖的概率；
（2）获奖一次得到奖金10元，否则得到1元，求参与者甲、乙、丙三人总共获得的奖金ξ的分布列与数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,列举法计算基本事件数及事件发生的概率,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）甲连续投掷三次，基本事件总数n=4³=64，投出的点数全部一样，或只含有1、3，或只含有2、4的种数m=2³+2³=16，由此能求出参与者甲获奖的概率．
（2）参与者甲、乙、丙三人获奖人数X～B（3，

1

4

），由题意知ξ的可能取值为3，12，21，30，由此能求出参与者甲、乙、丙三人总共获得的奖金ξ的分布列与数学期望．

解答： 解：（1）甲连续投掷三次，基本事件总数n=4³=64，
投出的点数全部一样，或只含有1、3，或只含有2、4的种数m=2³+2³=16，
∴参与者甲获奖的概率p=

m

n

=

16

64

=

1

4

．
（2）由（1）知参与者甲、乙、丙获奖的概率均为

1

4

，且相互独立，
∴参与者甲、乙、丙三人获奖人数X～B（3，

1

4

），
由题意知ξ的可能取值为3，12，21，30，
P（ξ=3）=P（X=0）=

C

0 3

(

3

4

)3=

27

64

，
P（ξ=12）=P（X=1）=

C

1 3

(

1

4

)(

3

4

)2=

27

64

，
P（ξ=21）=P（X=2）=

C

2 3

(

1

4

)2(

3

4

)=

9

64

，
P（ξ=30）=P（X=4）=

C

3 3

(

1

4

)3=

1

64

，
∴ξ的分布列为：

ξ	3	12	21	30
P	27 64	27 64	9 64	1 64

Eξ=3×

27

64

+12×

27

64

+21×

9

64

+30×

1

64

=

39

4

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．