Question

已知

tanα

1-tanα

=-

1

3

（Ⅰ）求

sinα-2cosα

3sinα+cosα

的值；
（Ⅱ）若α∈(0，π)，β∈(0，

π

2

)，cos(2β+α)=

5

5

，求sinβ的值．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：综合题,三角函数的求值

分析：（Ⅰ）易求tanα=-

1

2

，将所求关系式弦化切即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanα=-

1

2

，α∈（

π

2

，π）且sinα=

5

5

，cosα=-

2 5

5

，依题意易求sin（2β+α）的值，从而可求得cos2β，利用二倍角的余弦即可求得sinβ的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵

tanα

1-tanα

=-

1

3

，
∴3tanα=tanα-1，
∴tanα=-

1

2

；
∴

sinα-2cosα

3sinα+cosα

=

tanα-2

3tanα+1

=

- 1 2 -2

- 3 2 +1

=5；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知tanα=-

1

2

，又α∈（0，π），
∴α∈（

π

2

，π）且sinα=

5

5

，cosα=-

2 5

5

；
∵β∈（0，

π

2

），
∴2β+α∈（

π

2

，2π），
∵cos（2β+α）=

5

5

，
∴sin（2β+α）=-

2 5

5

，
∴cos2β=cos（2β+α-α）
=cos（2β+α）cosα+sin（2β+α）sinα
=

5

5

×（-

2 5

5

）+（-

2 5

5

）×

5

5

=-

4

5

，
∴cos2β=1-2sin²β=-

4

5

，β∈（0，

π

2

），
∴sinβ=

3 10

10

．

点评：本题考查同角三角函数基本关系的运用，着重考查二倍角的余弦与两角和与差的三角函数，考查转化思想与综合运算能力，属于难题．