Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（sinx，cos2x），x∈R，设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（I）求f（x）的最小正周期：
（Ⅱ）若x∈（0，$\frac{π}{2}$），求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由向量的数量积求出函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），由此能求出f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）由x∈（0，$\frac{π}{2}$），知2x-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），由此能求出函数f（x）的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（sinx，cos2x），x∈R，
∴函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=cosxsinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x
=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x$=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（Ⅱ）∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），∴2x-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$），
∴当2x-$\frac{π}{3}$→-$\frac{π}{3}$时，f（x）_min→-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）_max=1，
∴函数f（x）的值域为（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．

点评 本题考查三角函数的周期性的求法，考查三角函数的值域的求法，涉及到向量数量积公式、三角函数恒等式变换、三角函数图象及性质等知识点，是中档题．