Question

18．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，∠ACB=90°，
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）若二面角D-PC-A的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求点A到平面PBC的距离．

Answer 1

分析 （1）要证BC⊥平面PAC，只需证明PA⊥BC，BC⊥AC即可；
（2）作AO⊥PC，则AO⊥平面PBC，利用等面积求解即可．

解答 （1）证明：∵PA⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC；
（2）解：∵AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，
∴△ACD是等边三角形，AC=1，
设PA=x，则S_△PAC=$\frac{x}{2}$，S_△PCD=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{{x}^{2}+1-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+\frac{3}{4}}}{2}$，
∵二面角D-PC-A的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴$\frac{x}{2}$：$\frac{\sqrt{{x}^{2}+\frac{3}{4}}}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴x=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
作AO⊥PC，则AO⊥平面PBC，
△PAC中，由等面积可得AO=$\frac{PA•AC}{PC}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}×1}{\sqrt{1+\frac{3}{16}}}$=$\frac{\sqrt{57}}{19}$，
∴点A到平面PBC的距离为$\frac{\sqrt{57}}{19}$．

点评 本题考查直线与平面垂直，二面角，点到平面的距离，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．