Question

9．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，D，E分别是AB，BB₁的中点．
（Ⅰ）证明：BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）求二面角D-A₁C-E的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AC₁、A₁C，交于点O，连结OD，推导出OD∥BC₁，由此能证明BC₁∥平面A₁CD．
（Ⅱ）取A₁B₁中点F，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-A₁C-E的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）连结AC₁、A₁C，交于点O，连结OD，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形ACC₁A₁矩形，∴O是AC₁中点，
∵D是AB中点，∴OD∥BC₁，
∵OD?平面A₁CD，BC₁?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD．
解：（Ⅱ）取A₁B₁中点F，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DF为z轴，建立空间直角坐标系，
设正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，
则D（0，0，0），A₁（-1，0，2），C（0，$\sqrt{3}$，0），E（1，0，1），
$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（-1，0，2），$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（-1，-$\sqrt{3}$，2），$\overrightarrow{CE}$=（1，-$\sqrt{3}$，1），
设平面DCA₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=-x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{A}_{1}}=-x-\sqrt{3}y+2z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，0，1），
设平面ECA₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{C{A}_{1}}=-a-\sqrt{3}b+2c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CE}=a-\sqrt{3}b+c=0}\end{array}\right.$，取c=2，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，2），
设二面角D-A₁C-E的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{4}{\sqrt{5}•\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，sinθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{10}}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
∴二面角D-A₁C-E的正弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．