Question

7．在直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的正半轴建立直角坐标系，直线l的极坐标方程$ρsin（θ+\frac{π}{4}）$=2$\sqrt{2}（m+1）$，而曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosφ}\\{y=\sqrt{2}sinφ}\end{array}\right.$（其中φ为参数）；
（1）若直线l与曲线C恰好有一个公共点，求实数m的值；
（2）当m=-$\frac{3}{4}$，求直线l被曲线C截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）直线l的极坐标方程$ρsin（θ+\frac{π}{4}）$=2$\sqrt{2}（m+1）$，展开化为$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ+ρcosθ）=2$\sqrt{2}$（m+1），利用互化公式可得直角坐标方程．而曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosφ}\\{y=\sqrt{2}sinφ}\end{array}\right.$（其中φ为参数），利用平方关系消去参数可得普通方程．利用点到直线的距离公式、直线与圆相切的充要条件即可得出．
（2）m=-$\frac{3}{4}$时，圆心到直线l的距离d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，利用弦长公式可得：直线l被曲线C截得的弦长=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$．

解答 解：（1）直线l的极坐标方程$ρsin（θ+\frac{π}{4}）$=2$\sqrt{2}（m+1）$，展开化为$\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρsinθ+ρcosθ）=2$\sqrt{2}$（m+1），即x+y-4（m+1）=0．
而曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosφ}\\{y=\sqrt{2}sinφ}\end{array}\right.$（其中φ为参数），消去参数可得：x²+y²=2．
∵直线l与曲线C恰好有一个公共点，∴$\frac{4|m+1|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴m+1=$±\frac{1}{2}$，解得m=$-\frac{1}{2}$，或$-\frac{3}{2}$．
（2）m=-$\frac{3}{4}$时，圆心到直线l的距离d=$\frac{4|m+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴直线l被曲线C截得的弦长=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{2-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标与直角坐标的互化、直线与圆相交弦长公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．