题目内容
13．已知棱长3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，长为2的线段MN的一端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD内运动，线段EF在平面BC1A1内，则MN中点P到EF距离的最小值为（ ）| A． | $\sqrt{3}$-1 | B． | $\frac{3\sqrt{2}}{2}$-1 | C． | $\frac{3\sqrt{3}}{2}$-1 | D． | 2$\sqrt{3}$-1 |
分析 根据题意，连接N点与D点，得到一个直角三角形△NMD，P为斜边MN的中点，所以|PD|的长度不变，进而得到点P的轨迹是球面的一部分，再求出D到平面BC1A1的距离，即可求出MN中点P到EF距离的最小值．
解答 
解：如图可得，端点N在正方形ABCD内运动，连接N点与D点，
由ND，DM，MN构成一个直角三角形，
设P为MN的中点，根据直角三角形斜边上的中线长度为斜边的一半可得
DP=$\frac{1}{2}$MN=1，
不论△MDN如何变化，P点到D点的距离始终等于1．
∴MN的中点P的轨迹是一个以D为中心，半径为1的球的$\frac{1}{8}$的球面，
棱长3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线为3$\sqrt{3}$，
所以D到平面BC1A1的距离为2$\sqrt{3}$，
所以MN中点P到EF距离的最小值为2$\sqrt{3}$-1，
故选：D．
点评 本题主要考查点的轨迹方程的判断，考查MN中点P到EF距离的最小值，综合性较强．
练习册系列答案
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