Question

8．平面直角坐标系中，点P、Q是方程$\sqrt{{x^2}+2\sqrt{7}x+{y^2}+7}+\sqrt{{x^2}-2\sqrt{7}x+{y^2}+7}$=8表示的曲线C上不同两点，且以PQ为直径的圆过坐标原点O，则O到直线PQ的距离为（　　）

• A． 2
• B． $\frac{6}{5}$
• C． 3
• D． $\frac{12}{5}$

Answer 1

分析 先求出曲线C的轨迹方程，再分类讨论：①当直线PQ斜率不存在时，由椭圆的对称性，可求原点O到直线的距离；②当直线PQ斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理及点到直线的距离公式，即可得到结论．

解答 解：方程$\sqrt{{x^2}+2\sqrt{7}x+{y^2}+7}+\sqrt{{x^2}-2\sqrt{7}x+{y^2}+7}$=8，可化为$\sqrt{（x+\sqrt{7}）^{2}+{y}^{2}}$+$\sqrt{（x-\sqrt{7}）^{2}+{y}^{2}}$=8，
表示（x，y）到（-$\sqrt{7}$，0）、（$\sqrt{7}$，0）的距离的和等于8，且8＞2$\sqrt{7}$，
∴（x，y）的轨迹是以（-$\sqrt{7}$，0）、（$\sqrt{7}$，0）为焦点的椭圆，且a=4，c=$\sqrt{7}$，b=3，
∴轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，
当直线PQ斜率不存在时，由椭圆的对称性可知x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵以PQ为直径的圆D经过坐标原点，∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴x₁²-y₁²=0
∴|x₁|=|y₁|=$\frac{12}{5}$
∴原点O到直线的距离为d=|x₁|=$\frac{12}{5}$
②当直线PQ斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，
消元可得（9+16k²）x²+32kmx+16m²-144=0
∴x₁+x₂=-$\frac{32km}{9+16{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{16{m}^{2}-144}{9+16{k}^{2}}$
∵以PQ为直径的圆D经过坐标原点，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴（1+k²）$\frac{16{m}^{2}-144}{9+16{k}^{2}}$-km×$\frac{32km}{9+16{k}^{2}}$+m²=0
∴25m²=144（k²+1）
∴原点O到直线的距离为d=$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{12}{5}$
综上，点O到直线PQ的距离为$\frac{12}{5}$．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查圆与椭圆的综合，联立方程，利用韦达定理是解题的关键．