Question

18．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且经过点D（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）．
（1）求C的方程；
（2）若P（x₀，y₀）是第一象限C上异于点D的动点，过原点向圆（x-x₀）²+（y-y₀）²=8作切线交C于G，H两点，设直线OG，OH的斜率分别为k_OG，k_OH，证明：2k_OGk_OH+1=0．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且经过点D（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$），建立方程，求出a，b，c，即可求C的方程；
（2）设切线方程为y=kx，利用点到直线的距离公式建立方程，利用韦达定理，即可证明结论．

解答 解：（1）根据题意可得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}}\\ \begin{array}{l}\frac{8}{a^2}+\frac{8}{b^2}=1\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\end{array}}\right.$，
解得a²=24，b²=12，
所以C的方程为$\frac{x^2}{24}+\frac{y^2}{12}=1$．----------------（4分）
证明：（2）根据题意设切线方程为y=kx，则$\frac{{|{k{x_0}-{y_0}}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=2\sqrt{2}$，
整理得$（{x_0}^2-8）{k^2}-2k{x_0}{y_0}+{y_0}^2-8=0$，
因为k_OG，k_OH是该方程的两个根，
所以${k_{OG}}•{k_{OH}}=\frac{y_0^2-8}{x_0^2-8}$，
又因为$\frac{x_0^2}{24}+\frac{y_0^2}{12}=1$，即$y_0^2=12-\frac{1}{2}x_0^2$，
所以${k_{OG}}•{k_{OH}}=\frac{{4-\frac{1}{2}x_0^2}}{x_0^2-8}=-\frac{1}{2}$，
即2k_OG•k_OH+1=0．-----------（12分）

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．