Question

7．抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与抛物线和y轴分别交于点P、Q，且|PF|=2|PQ|
（1）求抛物线的方程；
（2）过点F作互相垂直的两直线分别交抛物线于点A、B、C、D，求四边形ACBD面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）求得抛物线的焦点和准线方程，以及P，Q的坐标，运用抛物线的定义和两点的距离公式，解方程可得p=4，进而得到抛物线的方程；
（2）设AB：x=my+2，CD：x=-$\frac{1}{m}$y+2（m≠0），联立抛物线方程，消去x，得到y的方程，运用韦达定理和弦长公式可得|AB|，|CD|，由四边形的面积公式可得S=$\frac{1}{2}$|AB||CD|，运用基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：（1）抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F（$\frac{p}{2}$，0），准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，
由题意可得P（$\frac{8}{p}$，4），Q（0，4），
由|PF|=2|PQ|，结合抛物线的定义可得|PF|=$\frac{8}{p}$+$\frac{p}{2}$，
即有$\frac{8}{p}$+$\frac{p}{2}$=2•$\frac{8}{p}$（p＞0），解得p=4，
则抛物线的方程为y²=8x；
（2）由（1）知：F（2，0），
设AB：x=my+2，CD：x=-$\frac{1}{m}$y+2（m≠0），
联立AB方程与抛物线的方程得：y²-8my-16=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=8m，y₁y₂=-16，
∴|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{64{m}^{2}+64}$=8（1+m²），
同理：|CD|=8（1+$\frac{1}{{m}^{2}}$）．
∴四边形ACBD的面积：S=$\frac{1}{2}$|AB||CD|=32（1+m²）（1+$\frac{1}{{m}^{2}}$）
=32（2+m²+$\frac{1}{{m}^{2}}$）≥128．
当且仅当m²=$\frac{1}{{m}^{2}}$即：m=±1时等号成立．
∴四边形ACBD的面积的最小值为128．

点评 本题考查抛物线的标准方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，四边形面积的最值以及基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．