Question

11．已知圆M的圆心在直线x+y=0上，半径为1，直线l：6x-8y-9=0被圆M截得的弦长为$\sqrt{3}$，且圆心M在直线l的右下方．
（1）求圆M的标准方程；
（2）直线mx+y-m+1=0与圆M交于A，B两点，动点P满足|PO|=$\sqrt{2}$|PM|（O为坐标原点），试求△PAB面积的最大值，并求出此时P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用直线l：6x-8y-9=0被圆M截得的弦长为$\sqrt{3}$，且圆心M在直线l的右下方，求出圆心坐标，即可求圆M的标准方程；
（2）要使△PAB的面积最大，点P到直线AB的距离d最大，利用P点在以（2，-2）为圆心，2为半径的圆上，即可得出结论．

解答 解：（1）由已知可设圆心M（a，-a），圆心到直线l的距离为d，
则d=$\frac{|6a+8a-9|}{10}$=$\sqrt{1-\frac{3}{4}}$，…（1分）
于是，整理得|14a-9|=5，解得a=1，或a=$\frac{2}{7}$．…（3分）
∵圆心M在直线l的右下方，
∴圆心M是（1，-1），
∴圆M的标准方程为（x-1）²+（y+1）²=1．…（4分）
（2）直线mx+y-m+1=0可变形为m（x-1）+y+1=0，即过定点（1，-1），
∴动直线mx+y-m+1=0恰好过圆M的圆心，
∴|AB|=2．…（5分）
设P（x，y），则由|PO|=$\sqrt{2}$|PM|，可得x²+y²=2[（x-1）²+（y+1）²]，
整理得（x-2）²+（y+2）²=4，即P点在以（2，-2）为圆心，2为半径的圆上，…（7分）
设此圆圆心为N，则N（2，-2）．
∴要使△PAB的面积最大，点P到直线AB的距离d最大，
d_max=|PM|=$\sqrt{（2-1）^{2}+（-2+1）^{2}}$+2=$\sqrt{2}$+2，
∴△PAB面积的最大值为=$\sqrt{2}+2$．…（8分）
∵MN的方程为y=-x，…（9分）
代入方程（x-2）²+（y+2）²=4中，可解得x=4，或0 （舍去），
∴此时P（4，-4）．…（10分）

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．