Question

对于函数f(x)=log

1

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(x2-2ax+3)，解答下述问题：
（1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若函数的值域为（-∞，-1]，求实数a的值．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）若函数的定义域为R，则内函数u=g（x）=x²-2ax+3的最小值大于0，进而可得实数a的取值范围；
（2）函数的值域为（-∞，-1]，则内函数u=g（x）=x²-2ax+3的最小值为2，进而可得实数a的值．

解答： 解：记u=g（x）=x²-2ax+3=（x-a）²+3-a²，
（1）∵u＞0对x∈R恒成立，
∴umin=3-a2＞0⇒-

3

＜a＜

3

，
∴a的取值范围是(-

3

，

3

)；
（2）∵g（x）的值域是[3-a²，+∞），
∴函数的值域为（-∞，-1]等价于[g(x)]min=3-a2=2⇒a=±1；
即a的值为±1；

点评：本题考查的知识点是对数函数与性质，二次函数的图象和性质，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．