Question

一个五位自然数

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a1a2a3a4a5

；a_i∈{0，1，2，3，4，5}，i=1，2，3，45，当且仅当a₁＞a₂＞a₃，a₃＜a₄＜a₅时称为“凹数”（如32014，53134等），则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为

 

．

Answer 1

考点：计数原理的应用

专题：应用题,排列组合

分析：本题是一个分类计数问题，数字中a₃的值最小是0，最大是3，因此需要把a₃的值进行讨论，两边选出数字就可以，没有排列，写出所有的结果相加．

解答： 解：由题意知本题是一个分类计数问题，
数字中a₃的值最小是0，最大是3，因此需要把a₃的值进行讨论，
当a₃=0时，前面两位数字可以从其余5个数中选，有C₅²=10种结果，后面两位需要从其余5个数中选，有C₅²=10种结果，共有10×10=100种结果，
当a₃=1时，前面两位数字可以从其余4个数中选，有6种结果，后面两位需要从其余4个数中选，有6种结果，共有36种结果，
当a₃=2时，前面两位数字可以从其余3个数中选，有3种结果，后面两位需要从其余4个数中选，有3种结果，共有9种结果，
当a₃=3时，前面两位数字可以从其余2个数中选，有1种结果，后面两位需要从其余2个数中选，有1种结果，共有1种结果，
根据分类计数原理知共有100+36+9+1=146．
故答案为：146．

点评：本题考查分类计数问题，考查利用列举得到所有的满足条件的结果数，本题要注意在确定中间一个数字后，两边的数字只要选出数字，顺序就自然形成，不用排列．