Question

已知函数f（x）=

x2+4x+1，(x∈[-4，0]) Asin(ωx+φ)，(x∈(0， 5π 3 ])

（其中|ϕ|＜

π

2

）在区间（0，

5π

3

]上的图象如图所示，则：
（Ⅰ）求f（x）的在区间（0，

5π

3

]上的解析式；
（Ⅱ）若f（x）=m恒有实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数的图象,函数解析式的求解及常用方法,函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由图象知A=2，T=4（

5π

3

-

2π

3

）=4π，故ω=

2π

T

=

1

2

，因此f(x)=2sin(

1

2

x+Φ），根据（

2π

3

，2）是五点法作图中的第二点求出Φ，
（Ⅱ）方程f（x）=m恒有实数解?m∈{f（x）|x∈[-4，

5π

3

]}，有两种方法：法一，分两段讨论解方程；法二，画出f（x）的图象，结合图象解题．

解答： 解：（Ⅰ）由图象知A=2，T=4（

5π

3

-

2π

3

）=4π，∴ω=

2π

T

=

1

2

，
∴f(x)=2sin(

1

2

x+Φ）
由图象知：（

2π

3

，2）是五点法作图中的第二点，
∴

1

2

×

2π

3

+ϕ=

π

2

即ϕ=

π

6

，
∴f（x）=2sin（

1

2

x+

π

6

），x∈（0，

5π

3

]．
（Ⅱ）方程f（x）=m恒有实数解?m∈{f（x）|x∈[-4，

5π

3

]}，
①当x∈（0，

5π

3

]时，由图象可知f（x）∈[0，2]，
②当x∈[-4，0]时，f（x）=x²+4x+1=（x+2）²-3，
∴f（x）_min=f（-2）=-3，f（x）_max=f（-4）=f（0）=1，
∴此时f（x）∈[-3，1]，
综上所述，函数f（x）的值域为[-3，2]，
∴f（x）=m恒有实数解时，实数m的取值范围为[-3，2]．
解法二：方程f（x）=m恒有实数解?m∈{f（x）|x∈[-4，

5π

3

]}，
在同一坐标系中作出函数f（x）在x∈[-4，0]上的图象如下，


由图象可知函数f（x）的值域为[-3，2]，
∴f（x）=m恒有实数解时，实数m的取值范围为[-3，2]．

点评：本题主要考查分段函数的性质，分情况讨论是解决分段函数有关问题的关键，答题时应仔细认真．