Question

已知x，y，z都是正实数，且x+2y+z=1，则

1

x+y

+

2

y+z

的最小值为（　　）

• A、2
• B、3
• C、3+2

  2

• D、2+2

  2

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：令x+y=t，则y+z=1-t，t∈（0，1），换元并变形可得

1

x+y

+

2

y+z

1

-(t+1)- 2 t+1 +3

，由基本不等式和不等式的性质可得．

解答： 解：∵x，y，z都是正实数，且x+2y+z=1，
∴令x+y=t，则y+z=1-t，t∈（0，1），
∴

1

x+y

+

2

y+z

=

1

t

+

2

1-t

=

t+1

-t2+t

=

t+1

-(t+1)2+3(t+1)-2

=

1

-(t+1)- 2 t+1 +3

，
∵t∈（0，1），∴t+1∈（1，2），
∴-（t+1）-

2

t+1

=-[（t+1）+

2

t+1

]≤-2

2

，
∴-（t+1）-

2

t+1

+3≤3-2

2

，
∴

1

-(t+1)- 2 t+1 +3

≥

1

3-2 2

=3+2

2

故选：C．

点评：本题考查基本不等式求最值，换元并变形为可利用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．