Question

已知函数f（x）=sin（x+

π

3

）-

3

cos²

x

2

+

3

2

．
（1）若f（a+

π

4

）=-

3

4

，

3π

4

≤a≤

5π

4

，求a的值；
（2）将含f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍，纵坐标不变，得到y=g（x）的图象，若方程g（x）=m在区间[-

π

6

，

π

3

]上只有一个实数根，求m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）先根据两角和与差的公式和二倍角公式进行化简，确定函数f（x）的解析式，由已知化简可得sinα+cosα=-

6

2

，分析角的范围即可得解．
（2）由题意可得得到y=g（x）的解析式，
关于x的方程

1

2

sin2x=m在[-

π

6

，

π

3

]上只有一个实数解，即

1

2

sin2x=m在[-

π

6

，

π

3

]上只有一个实数解．由-

3

4

≤

1

2

sin2x≤

1

2

，结合图象可得实数m的取值范围．

解答： 解：（1）f（x）=sin（x+

π

3

）-

3

cos²

x

2

+

3

2

=

1

2

sinx+

3

2

cosx-

3

2

-

3

2

cosx+

3

2

=

1

2

sinx
∵f（a+

π

4

）=

1

2

sin（a+

π

4

）=-

3

4

，可解得：sinα+cosα=-

6

2

，两边平方即有sin2α=

1

2

∵

3π

4

≤a≤

5π

4

，∴

3π

2

≤2α≤

5π

2

∴2α=2kπ+

π

6

，k∈Z
∴可解得，当k=1时，α=

13π

12

．
（2）将含f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍，纵坐标不变，得到y=g（x）=

1

2

sin2x的图象，
关于x的方程

1

2

sin2x=m在[-

π

6

，

π

3

]上只有一个实数解，即

1

2

sin2x=m在[-

π

6

，

π

3

]上只有一个实数解．
再由 x∈[-

π

6

，

π

3

]可得：2x∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴-

3

4

≤

1

2

sin2x≤

1

2

，
集合图象可得 m=1，或-

3

4

≤m＜

1

4

．

点评：本题主要考查两角和与差的正弦公式和二倍角公式的应用和三角函数中的恒等变换应用．考查三角函数基础知识的简单应用和灵活能力，属于中档题．