Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b•cosA=c•cosA+a•cosC．
（1）求角A的大小；
（2）若a=

7

，b+c=4，求bc的值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用正弦定理化简已知等式，变形后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinB不为0求出cosA的值，即可确定出A的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将b+c，a以及cosA的值代入求出bc的值．

解答： 解：（1）已知等式2b•cosA=c•cosA+a•cosC，
由正弦定理化简得：2sinB•cosA=sinCcosA+sinAcosC，
即2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，
在△ABC中，sinB≠0，
∴cosA=

1

2

，∴A=

π

3

；
（2）a=

7

，A=

π

3

；
由余弦定理得：
a²=b²+c²-2bccos60°=7，
代入b+c=4得（b+c）²-3bc=7
bc=3．

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的关键是利用这两个定理完成了边角问题的互化．