Question

求下列各函数的最值：
（1）f（x）=-x³+3x，x∈[-

3

，3]；
（2）f（x）=x²-

54

x

（x＜0）

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数的最值及其几何意义

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导函数，求得-

3

＜x＜-1或1＜x＜3时，f′（x）＜0，函数单调递减，-1＜x＜1时，f′（x）＞0，函数单调递增，即可求得函数的最值；
（2）求导函数，求得x＜-3时，f′（x）＜0，函数单调递减，-3＜x＜0时，f′（x）＞0，函数单调递增
，即可求得函数的最值．

解答： 解：（1）∵f（x）=-x³+3x，
∴f′（x）=-3x²+3=-3（x+1）（x-1），
∴-

3

＜x＜-1或1＜x＜3时，f′（x）＜0，函数单调递减，-1＜x＜1时，f′（x）＞0，函数单调递增
∵f（-

3

）=0，f（-1）=-2，f（3）=-18，f（1）=2
∴函数f（x）=-x³+3x，x∈[-

3

，3]的最大值为2，最小值为-18；
（2）∵f（x）=x²-

54

x

（x＜0），
∴f′（x）=

2(x+3)(x2-3x+9)

x2

，
∴x＜-3时，f′（x）＜0，函数单调递减，-3＜x＜0时，f′（x）＞0，函数单调递增
∵f（-3）=27，
∴f（x）=x²-

54

x

（x＜0）的最小值为27，无最大值．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查学生的计算能力，属于中档题．