Question

已知△ABC的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（　　）

• A、

  3

  4

• B、

  5

  6

• C、

  7

  10

• D、

  2

  3

Answer 1

考点：余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：设三边依次是x-1，x，x+1，其中x是自然数，且x≥2，令三角形的最小角为A，则最大角为2A，利用正弦定理列出关系式，再利用二倍角的正弦函数公式化简表示出cosA，再利用余弦定理表示出cosA，两者相等求出x的值，确定出三边长，即可求出最小值的余弦值．

解答： 解：设三边依次是x-1，x，x+1，其中x是自然数，且x≥2，
令三角形的最小角为A，则最大角为2A，
由正弦定理，有：

x-1

sinA

=

x+1

sin2A

=

x+1

2sinAcosA

，
∴cosA=

x+1

2(x-1)

，
由余弦定理，有：cosA=

x2+(x+1)2-(x-1)2

2x(x+1)

，
∴

x+1

2(x-1)

=

x2+(x+1)2-(x-1)2

2x(x+1)

，即

x+1

x-1

=

x2+4x

x2+x

=

x+4

x+1

，
整理得：（x+1）²=（x-1）（x+4），
解得：x=5，
三边长为4，5，6，
则cosA=

52+62-42

2×5×6

=

3

4

．
故选：A．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．