Question

已知函数f（x）=ax³+2x²+b（x∈R），其中a，b∈R，g（x）=x⁴+f（x）．
（1）当a=-

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时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数g（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围；
（3）若对于任意的a∈[-2，2]，不等式g（x）≤1在[-1，1]上恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）将a的值代入后对函数f（x）进行求导，当导函数大于0时求原函数的单调增区间，当导函数小于0时求原函数的单调递减区间．
（2）根据函数g（x）仅在x=0处有极值说明f'（x）=0仅有x=0一个根得到答案．
（3）根据函数9（x）的单调性求出最大值，然后令最大值小于等于1恒成立求出b的范围．

解答： 解：（1）f'（x）=3ax²+4x=x（3ax+4）．                                    …（1分）
当a=-

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时，f'（x）=x（-10x+4）．令（n∈N），解得x₁=0，x2=

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．      …（2分）
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，0）	0	(0， 2 5 )	2 5	( 2 5 ，+∞)
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极小值	↗	极大值	↘

所以f（x）在(0，

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)内是增函数，在（-∞，0），(

2

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，+∞)内是减函数．            …（5分）
（2）g'（x）=4x³+f'（x）=x（4x²+3ax+4），显然x=0不是方程4x²+3ax+4=0的根．…（7分）
为使g（x）仅在x=0处有极值，必须4x²+3ax+4≥0成立，…（8分）
即有△=9a²-64≤0．解不等式，得-

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≤a≤

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．这时，g（0）=b是唯一极值．    …（9分）
因此满足条件的a的取值范围是[-

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，

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]．                                …（10分）
（3）g'（x）=x（4x²+3ax+4）由条件a∈[-2，2]，可知△=9a²-64＜0，…（11分）
从而4x²+3ax+4＞0恒成立．在（-

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，

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）上，当x＜0时，g'（x）＜0；当x＞0时，g'（x）＞0．
因此函数g（x）在[-1，1]上的最大值是g（1）与g（-1）两者中的较大者．         …（13分）
为使对任意的a∈[-2，2]，不等式g（x）≤1在[-1，1]上恒成立，
当且仅当

g(1)≤1 g(-1)≤1

，即

b≤-2-a b≤-2+a

，在a∈[-2，2]上恒成立．                       …（15分）
所以b≤-4，因此满足条件的b的取值范围是（-∞，-4]…（16分）

点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．