Question

在△ABC中，∠C=60°，BC＞1，AC=AB+

1

2

，则AC的最小值是

 

．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：由余弦定理可得AC²=AC•BC+AB²-BC²，把AC=AB+

1

2

，代入上式化简可得AC=

1 4 -BC2

1-BC

=（1-BC）+

3

4(1-BC)

+2，再利用基本不等式求得AC的最小值．

解答： 解：在△ABC中，由余弦定理可得cosC=

AC2+BC2-AB2

2AC•BC

=

1

2

，即AC²=AC•BC+AB²-BC²．
把AC=AB+

1

2

，代入上式化简可得 AC²=AC•BC+(AC-

1

2

)2-BC²，
即AC=

1 4 -BC2

1-BC

=

1-BC2+ 3 4

1-BC

=1+BC+

3

4(1-BC)

=（1-BC）+

3

4(1-BC)

+2=≥2

(1-BC)• 3 4(1-BC)

+2=2

3

+2，
当且仅当1-BC=

3

4(1-BC)

 时，等号成立，
故答案为：2

3

+2．

点评：本题主要考查余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．