Question

如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝45°，DC＝1，AB＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝1.

(1)求证：AB∥平面PCD；

(2)求证：BC⊥平面PAC；

(3)若M是PC的中点，求三棱锥M－ACD的体积．

Answer 1

[证明]　(1)由已知底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，

又AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，

∴AB∥平面PCD.

(2)在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE为矩形，

∴AE＝DC＝1

又AB＝2，∴BE＝1，

在Rt△BEC中，∠ABC＝45°，

∴CE＝BE＝1，CB＝，∴AD＝CE＝1，

则AC＝＝，AC²＋BC²＝AB²，

∴BC⊥AC.

又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，

又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.

(3)∵M是PC中点，

∴M到平面ADC的距离是P到平面ADC距离的一半．

∴V_M－ACD＝S_△ACD·(PA)＝×(×1×1)×＝.