Question

12．已知函数f（x）=（x²-2x）sin（x-1）+x+1在[-1，3]上的最大值为M，最小值为m，则M+m=4．

Answer 1

分析 把函数解析式变形，可得f（x）=[（x-1）²-1]sin（x-1）+x-1+2，令g（x）=（x-1）²sin（x-1）-sin（x-1）+（x-1），结合g（2-x）+g（x）=0，可得g（x）关于（1，0）中心对称，则f（x）在[-1，3]上关于（1，2）中心对称，从而求得M+m的值．

解答 解：∵f（x）=（x²-2x）sin（x-1）+x+1=[（x-1）²-1]sin（x-1）+x-1+2
令g（x）=（x-1）²sin（x-1）-sin（x-1）+（x-1），
而g（2-x）=（x-1）²sin（1-x）-sin（1-x）+（1-x），
∴g（2-x）+g（x）=0，
则g（x）关于（1，0）中心对称，则f（x）在[-1，3]上关于（1，2）中心对称．
∴M+m=4．
故答案为：4．

点评 本题考查函数在闭区间上的最值，考查函数奇偶性性质的应用，考查数学转化思想方法，属中档题．