Question

已知正项数列{a_n}满足a₁=1，

a1

+

a2

+…+

an

=

1

2

（a_n+n），且

an

+

an-1

≠1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{

an

•2ⁿ}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）当n≥2时，

a1

+

a2

+…+

an

=

1

2

（a_n+n），

a1

+

a2

+…+

an-1

=

1

2

（a_n-1+n-1），
两式相减可得

an

=

1

2

an-

1

2

an-1+

1

2

，化为

an

-

an-1

=1．利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）

an

•2ⁿ=n•2ⁿ．再利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）当n≥2时，

a1

+

a2

+…+

an

=

1

2

（a_n+n），

a1

+

a2

+…+

an-1

=

1

2

（a_n-1+n-1），
∴

an

=

1

2

an-

1

2

an-1+

1

2

，
化为

an

-

an-1

=1．
∴数列{

an

}是等差数列，∴

an

=

a1

+（n-1）×1=n．
∴a_n=n²．
（2）

an

•2ⁿ=n•2ⁿ．
∴数列{

an

•2ⁿ}的前n项和S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ．
∴2S_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹．
两式相减可得：-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2×(2n-1)

2-1

-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴Sn=(n-1)•2n+1+2．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．